Sequência de Fibonacci

Leonardo de Pisa

Em postagens anteriores,vimos uma importante sequência numérica conhecida como sequência de Fibonacci(Leonardo de Pisa,matemático italiano,cerca de 1180-1250),útil da descrição de fenômenos da Botânica,da Genética e em outros campos de conhecimento.

Esta sequência é descrita em seu livro Liber Abaci(livro do ábaco),um tratado bastante amplo sobre métodos e problemas algébricos,no qual o uso de numerais indo-arábicos é muito recomendado.

O problema que dá origem à referida sequência é:
"Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano,começando com um só par,se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo apartir do segundo mês?"

A sequência é (1,1,2,3,5,8,13,21,...),na qual cada termo,após os dois primeiros,é a soma dos dois imediatamente anteriores.
Com um pouco de observação e imaginação é possível "deduzir" a sequência de Fibonacci do triângulo de Pascal.

1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1    5    10  10   5    1
1    6    15   20  15   6   1
1    7    21   35  35   21  7   1
.....................................................

virtual.uptc.edu.co/aplicação

Veja se você consegue fazê-lo!



(Matemática,volume único 2°grau,Faccini)

Uso da Teoria dos Conjuntos

Como resolver esse tipo de problema?

(Fei-SP--Adap.)
Considerando as afirmações:

"Todos os torcedores do time A são fanáticos"
e
"Existem fanáticos inteligentes"

Vc poderá concluir que:

1.existem torcedores do time A inteligentes.
2.Nenhum torcedor do time A é inteligente.
3.Todo torcedor do time A é inteligente.
4.Todo inteligente é torcedor do time A.
5.Nada se pode concluir

Como resolver?




A sugestão aqui é que se construa os diagramas dos conjuntos T dos torcedores,F dos fanáticos e I dos inteligentes.


(Faccini,Matemática 2° grau)

Pensamentos "Exatos"

Uma verdade matemática não é simples nem complicada por si mesma. É uma verdade.
(Emile Lemoine)

Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta.
(Karl Weierstrass)

Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como a música não são notas. 
(Y Jurquim)

Um problema que vale a pena ser atacado prova seu valor contra-atacando.
(Piet Hein)

A álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu.
(Jean Le Rond d'Alembert)

As abelhas, em virtude de uma certa intuição geométrica, sabem que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo, e conterá mais mel com o mesmo gasto de material.
(Papus de Alexandria)

Aquele que deseja estudar ou exercer a Magia deve cultivar a Matemática.
(Matila Ghyka)


No que se refere à ciência, a autoridade de mil pessoas não vale o simples raciocínio de um indivíduo apenas. (Galileu)

Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido, porque os idiomas morrem mas as idéias matemáticas permanecem. "Imortalidade" pode ser uma idéia tola, mas provavelmente um matemático tem a melhor chance que pode existir de obtê-la.
(G.H.Hardy)

De que me irei ocupar no céu, durante toda a Eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de Matemática para resolver? (Augustin Louis Cauchy)

Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso! (Gallagher)

Para criar uma filosofia só é preciso renunciar à metafísica e tornar-se apenas um bom matemático. (Bertrand Russel)

Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base.
(Auguste Conte)

Toda a minha Física não passa de uma Geometria.
(Descartes)

A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade.
(Laisant)

A Matemática não mente. Mente quem faz mau uso dela.
(Albert Einstein)

Bem, todos morrem um dia, é simples matemática. Nada de novo. A espera é que é um problema.
(Charles Bukowski)

Se as leis da Matemática referem-se à realidade, elas não estão corretas; e, se estiverem corretas, não se referem à realidade
(Albert Einstein)

Ah, o amor, essa raposa. Quem dera o amor não fosse um sentimento, mas uma equação matemática: eu linda + você inteligente = dois apaixonados.
(autor desconhecido)

Matematica do amor

80ção
20 buscar
60 no meu colo
70 me bijar.
pois ja rezei 1/3
para encontrar 1/2
de te levar para 1/4
e te prevar que 1+1=3(Gabriela Tavares Vale)

A física é a poesia da natureza. A matematica, o idioma.
(Antonio Gomes Lacerda)

Nossos problemas na vida são cálculos de matemática. Basta subtrair, dividir, somar ou multiplicá-los. O resultado final é igual à capacidade de resolvê-los.
(Angelita Loturco)

Para entender a Matemática, você deve pensar como um matemático.
(Jaciel Medeiros)

A matemática básica explica
----
ele + ela = ela + ele
>>
ele - ele = ela - ela
>>
ninguém = ninguém
----
Conjunto verdade: ninguém é igual ninguém
(Rafael DAngelo)

Matemática da vida: A amizade “soma”. O amor “multiplica”. O ódio “divide”. A inimizade “diminui”.
(Alvaro Granha Loregian)

A matemática é simples.
1+1=2.
2x2=4.
4²=16.
∆=b²-4(a)(c).
Sacou?
(Filipe Alencar)

Os nerds também amam,Baby,rsrs

O amor é igual um cálculo de matemática.Nem todo mundo resolve e acerta.
(Rani Sousa)

Meu Amor à Física,minha paixão à matemática,meu amor a você minha razão problemática...
(Suzana Rodrigues)


Matemática dos meus sonhos: eu + vc = nós
(Felipe Ramos de Faria)

Eu era bom em matemática, até umas letras entrarem no meio e ferrar com tudo.
(Matheus Arruda Pinheiro)



Operação básica da malandragem matemática: saída pela tangente.
(M. M. Soriano)

"Amor q exige só acertos , não é amor, é matemática".
(Day Anne)

Matemática não pode nos ensinar a amar um amigo e perdoar um inimigo, mas ela nos dá todos os motivos para acreditar que todo problema tem uma solução.
(Patrícia Wilker)

O Universo se consiste em matemática, todos os seus cálculos são perfeitos. Constantes infinitas, entretanto o ser humano é a variável imperfeita, a única peça do jogo incógnita.
TEM A CAPACIDADE DE MUDAR O RESULTADO MATEMÁTICO
(Nyck Maftum)

A Geometria é a arte de raciocinar sobre as figuras mal desenhadas.

Não sei qual é o problema desses homens,hahaha

(A. Poincaré)

Um matemático que não é também um pouco poeta nunca será um matemático completo.
(K. Weierstrass)

O grande arquitecto do universo
começa agora a aparecer
como um matemático puro.                     
(J. H. Jeans, 1930)

A estratégia do bife

Seu João tem um pequeno grelhador e nele há espaço para apenas dois bifes.
Sua mulher e sua filha Bete estã com fome e ansiosas por comer.
O problema consiste em grelhar três bifes no mínimo tempo possível.
Sr. João.Vejamos:
São precisos 20 min. para grelhar ambos os lados de um bife,por que cada lado leva 10 min.
E,como eu posso grelhar 2 bifes ao mesmo tempo,20 min. bastam para ter 2 bifes prontos.
Outros 20 min. darão para grelhar o terceiro bife,e tudo fica pronto em 40 min.

Bete:Mas pode fazê-lo muito mais rapidamente,papai.Acabei de descobrir como pode poupar 10 min.
Ah! Que idéia teve a Bete?
Para explicar sua solução,chamemos os bifes de A,B e C,tendo cada bife os lados 1 e 2.
Nos primeiros 10 min.,os lados A1 e B1 ficam grelhados.
O bife B é agora posto de lado.Nos 10 min. seguintes,os lados A2 e C1 ficam grelhados.O bife A fica pronto.
Dez minutos mais e os lados B2 e C2 ficam prontos.Os 3 bifes foram grelhados em apenas 30 min.,não é verdade?

UMA ESTRATÉGIA GERAL


A situação acima é um simples problema combinatório de um ramo da matemática moderna chamado investigação operacional.
Mostra perfeitamente que,se uma pessoa tem que encarar uma série de operações e quer completá-las no mínimo período de tempo,a melhor forma de organizar as operações não é imediatamente visível.
O processo que à primeira vista parece ser o melhor pode ser consideravelmente melhorado.
Em nosso problema,o ah! reside em reconhecer que não é necessário grelhar o segundo lado de um bife logo após o primeiro.
Como é habitual,problemas simples como este podem ser generalizados de várias maneiras.Por exemplo,pode-se variar o números de bifes a grelhar ou ambas as coisas.
Outra generalização consiste em considerar objetos com mais de dois lados e que tenham de ser "acabados" de alguma forma em todos os lados.Por exemplo,uma pessoa pode ter a tarefa de pintar n cubos de vermelho em todas as faces,mas de cada vez só pode pintar os topos de k cubos.

A investigação operacional é hoje utilizada para a resolução de problemas práticos de negócios,na indústria,em estratégia militar e muitos outros campos.

(Adaptado de "Ah!Descobri" de Martin Gardner,coleção "O prazer da Matemática",editora Gradiva.
Matemática 2°grau,Facchini.Ed. Saraiva)