Quanto perco com a inflação?

Souzinha,apesar de viver em um país que há mais de quarenta anos tem inflação,ainda não conseguiu raciocinar com ela.Certo dia,falou-me:

-A inflação nos meses subsequentes ao último aumento de salário(melhor seria dizer reajuste) foi de 8% e 7%.Já perdi com isso 8% + 7% = 15% do meu salário.
Corrigi:
 -Não é 15%,é outro valor.
Souzinha respondeu:
-Já sei,já sei. O cálculo exato é 1,08 x 1,07 = 1,1556, ou seja, 15,56%.
-Continua errado,insisti.
Souzinha bateu o pé e saiu murmurando baixinho,mas suficientemente alto para que eu pudesse ouvir:
-O Botelho não tem jeito,está sempre arrumando coisinhas para discutir.
Afinal,quem está certo,Souzinha ou eu?
Resposta:
É claro que sou eu que estou certo e Souzinha está errado.Admitamos que Souzinha ganhasse 100 000 unidadesde dinheiro e usasse essa quantia para comprar unicamente produtos de valor unitário 100.Logo,ele compraria, inicialmente, um total de 1000 produtos.Se a inflação foi de 8% no primeiro mês após o aumento e de 7% no mês seguinte,o produto padrão que custava 100 passará a custar 100 x 1,08 x 1,07 = 115,56.
Custando o objeto padrão 115,56 e Souzinha continuando a ganhar 100 000, ele poderá comprar 100 000 / 115,56 = 865.Logo, a redução da capacidade de compra terá sido de 1000 - 865 / 1 000 = 13,5%.

Certo Souzinha?
(Assim, mesmo quando a inflação acumulada for de 100%,o nosso salário não some,mas nosso poder de compra cai 50%)


(Artigo de Manoel Henrique Campos Botelho,Revista do professor de matemática, n°20-1° quadrimestre/92)

Sequestro de avião

Fernando Sabino,autor de Encontro Marcado e outras obras conhecidas,em sua coluna da Folha de S.Paulo,de 17 de fevereiro de 1985,brincou com a matemática.Eis a piada:

Em vésperas de viagem,um fulano manifesta um medo peculiar em matéria de avião:o de haver um sequestro em pleno vôo.Um conhecido seu,que é técnico em computação e em cálculo de probabilidades,procura tranquilizá-lo:

-Não se preocupe:o perigo é remotíssimo.Já calculei: num vôo como este que você vai fazer, levando-se em conta todos os fatores e circunstâncias, a probabilidade de haver um sequestro é uma em 120 mil.

-Uma em 120 mil?-retrucou ele preocupado-Então é muito provável.Não viajo de jeito nenhum.

-Se vc quer viajar inteiramente à vontade,há um jeito-o outro retornou de seu computador com novos cálculos feitos:-É só levar um revólver ou uma bomba para sequestrar o avião.A probabilidade de haver dois sequestradores distintos no mesmo vôo é uma em um trilhão.


(Extraído da Revista do Professor de Matemática,n°9,2°semestre de/86)

Sequência de Fibonacci

Leonardo de Pisa

Em postagens anteriores,vimos uma importante sequência numérica conhecida como sequência de Fibonacci(Leonardo de Pisa,matemático italiano,cerca de 1180-1250),útil da descrição de fenômenos da Botânica,da Genética e em outros campos de conhecimento.

Esta sequência é descrita em seu livro Liber Abaci(livro do ábaco),um tratado bastante amplo sobre métodos e problemas algébricos,no qual o uso de numerais indo-arábicos é muito recomendado.

O problema que dá origem à referida sequência é:
"Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano,começando com um só par,se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo apartir do segundo mês?"

A sequência é (1,1,2,3,5,8,13,21,...),na qual cada termo,após os dois primeiros,é a soma dos dois imediatamente anteriores.
Com um pouco de observação e imaginação é possível "deduzir" a sequência de Fibonacci do triângulo de Pascal.

1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1    5    10  10   5    1
1    6    15   20  15   6   1
1    7    21   35  35   21  7   1
.....................................................

virtual.uptc.edu.co/aplicação

Veja se você consegue fazê-lo!



(Matemática,volume único 2°grau,Faccini)

Uso da Teoria dos Conjuntos

Como resolver esse tipo de problema?

(Fei-SP--Adap.)
Considerando as afirmações:

"Todos os torcedores do time A são fanáticos"
e
"Existem fanáticos inteligentes"

Vc poderá concluir que:

1.existem torcedores do time A inteligentes.
2.Nenhum torcedor do time A é inteligente.
3.Todo torcedor do time A é inteligente.
4.Todo inteligente é torcedor do time A.
5.Nada se pode concluir

Como resolver?




A sugestão aqui é que se construa os diagramas dos conjuntos T dos torcedores,F dos fanáticos e I dos inteligentes.


(Faccini,Matemática 2° grau)

Pensamentos "Exatos"

Uma verdade matemática não é simples nem complicada por si mesma. É uma verdade.
(Emile Lemoine)

Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta.
(Karl Weierstrass)

Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como a música não são notas. 
(Y Jurquim)

Um problema que vale a pena ser atacado prova seu valor contra-atacando.
(Piet Hein)

A álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu.
(Jean Le Rond d'Alembert)

As abelhas, em virtude de uma certa intuição geométrica, sabem que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo, e conterá mais mel com o mesmo gasto de material.
(Papus de Alexandria)

Aquele que deseja estudar ou exercer a Magia deve cultivar a Matemática.
(Matila Ghyka)


No que se refere à ciência, a autoridade de mil pessoas não vale o simples raciocínio de um indivíduo apenas. (Galileu)

Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido, porque os idiomas morrem mas as idéias matemáticas permanecem. "Imortalidade" pode ser uma idéia tola, mas provavelmente um matemático tem a melhor chance que pode existir de obtê-la.
(G.H.Hardy)

De que me irei ocupar no céu, durante toda a Eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de Matemática para resolver? (Augustin Louis Cauchy)

Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso! (Gallagher)

Para criar uma filosofia só é preciso renunciar à metafísica e tornar-se apenas um bom matemático. (Bertrand Russel)

Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base.
(Auguste Conte)

Toda a minha Física não passa de uma Geometria.
(Descartes)

A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade.
(Laisant)

A Matemática não mente. Mente quem faz mau uso dela.
(Albert Einstein)

Bem, todos morrem um dia, é simples matemática. Nada de novo. A espera é que é um problema.
(Charles Bukowski)

Se as leis da Matemática referem-se à realidade, elas não estão corretas; e, se estiverem corretas, não se referem à realidade
(Albert Einstein)

Ah, o amor, essa raposa. Quem dera o amor não fosse um sentimento, mas uma equação matemática: eu linda + você inteligente = dois apaixonados.
(autor desconhecido)

Matematica do amor

80ção
20 buscar
60 no meu colo
70 me bijar.
pois ja rezei 1/3
para encontrar 1/2
de te levar para 1/4
e te prevar que 1+1=3(Gabriela Tavares Vale)

A física é a poesia da natureza. A matematica, o idioma.
(Antonio Gomes Lacerda)

Nossos problemas na vida são cálculos de matemática. Basta subtrair, dividir, somar ou multiplicá-los. O resultado final é igual à capacidade de resolvê-los.
(Angelita Loturco)

Para entender a Matemática, você deve pensar como um matemático.
(Jaciel Medeiros)

A matemática básica explica
----
ele + ela = ela + ele
>>
ele - ele = ela - ela
>>
ninguém = ninguém
----
Conjunto verdade: ninguém é igual ninguém
(Rafael DAngelo)

Matemática da vida: A amizade “soma”. O amor “multiplica”. O ódio “divide”. A inimizade “diminui”.
(Alvaro Granha Loregian)

A matemática é simples.
1+1=2.
2x2=4.
4²=16.
∆=b²-4(a)(c).
Sacou?
(Filipe Alencar)

Os nerds também amam,Baby,rsrs

O amor é igual um cálculo de matemática.Nem todo mundo resolve e acerta.
(Rani Sousa)

Meu Amor à Física,minha paixão à matemática,meu amor a você minha razão problemática...
(Suzana Rodrigues)


Matemática dos meus sonhos: eu + vc = nós
(Felipe Ramos de Faria)

Eu era bom em matemática, até umas letras entrarem no meio e ferrar com tudo.
(Matheus Arruda Pinheiro)



Operação básica da malandragem matemática: saída pela tangente.
(M. M. Soriano)

"Amor q exige só acertos , não é amor, é matemática".
(Day Anne)

Matemática não pode nos ensinar a amar um amigo e perdoar um inimigo, mas ela nos dá todos os motivos para acreditar que todo problema tem uma solução.
(Patrícia Wilker)

O Universo se consiste em matemática, todos os seus cálculos são perfeitos. Constantes infinitas, entretanto o ser humano é a variável imperfeita, a única peça do jogo incógnita.
TEM A CAPACIDADE DE MUDAR O RESULTADO MATEMÁTICO
(Nyck Maftum)

A Geometria é a arte de raciocinar sobre as figuras mal desenhadas.

Não sei qual é o problema desses homens,hahaha

(A. Poincaré)

Um matemático que não é também um pouco poeta nunca será um matemático completo.
(K. Weierstrass)

O grande arquitecto do universo
começa agora a aparecer
como um matemático puro.                     
(J. H. Jeans, 1930)

A estratégia do bife

Seu João tem um pequeno grelhador e nele há espaço para apenas dois bifes.
Sua mulher e sua filha Bete estã com fome e ansiosas por comer.
O problema consiste em grelhar três bifes no mínimo tempo possível.
Sr. João.Vejamos:
São precisos 20 min. para grelhar ambos os lados de um bife,por que cada lado leva 10 min.
E,como eu posso grelhar 2 bifes ao mesmo tempo,20 min. bastam para ter 2 bifes prontos.
Outros 20 min. darão para grelhar o terceiro bife,e tudo fica pronto em 40 min.

Bete:Mas pode fazê-lo muito mais rapidamente,papai.Acabei de descobrir como pode poupar 10 min.
Ah! Que idéia teve a Bete?
Para explicar sua solução,chamemos os bifes de A,B e C,tendo cada bife os lados 1 e 2.
Nos primeiros 10 min.,os lados A1 e B1 ficam grelhados.
O bife B é agora posto de lado.Nos 10 min. seguintes,os lados A2 e C1 ficam grelhados.O bife A fica pronto.
Dez minutos mais e os lados B2 e C2 ficam prontos.Os 3 bifes foram grelhados em apenas 30 min.,não é verdade?

UMA ESTRATÉGIA GERAL


A situação acima é um simples problema combinatório de um ramo da matemática moderna chamado investigação operacional.
Mostra perfeitamente que,se uma pessoa tem que encarar uma série de operações e quer completá-las no mínimo período de tempo,a melhor forma de organizar as operações não é imediatamente visível.
O processo que à primeira vista parece ser o melhor pode ser consideravelmente melhorado.
Em nosso problema,o ah! reside em reconhecer que não é necessário grelhar o segundo lado de um bife logo após o primeiro.
Como é habitual,problemas simples como este podem ser generalizados de várias maneiras.Por exemplo,pode-se variar o números de bifes a grelhar ou ambas as coisas.
Outra generalização consiste em considerar objetos com mais de dois lados e que tenham de ser "acabados" de alguma forma em todos os lados.Por exemplo,uma pessoa pode ter a tarefa de pintar n cubos de vermelho em todas as faces,mas de cada vez só pode pintar os topos de k cubos.

A investigação operacional é hoje utilizada para a resolução de problemas práticos de negócios,na indústria,em estratégia militar e muitos outros campos.

(Adaptado de "Ah!Descobri" de Martin Gardner,coleção "O prazer da Matemática",editora Gradiva.
Matemática 2°grau,Facchini.Ed. Saraiva)

Teoria do Caos no Grande Ecrâ

Estudo relaciona cinema com padrão científico

 O psicólogo especializado em cognição, James Cutting, da Universidade de Cornell, nos Estados Unidos, estudou mais de 150 filmes, plano a plano, para descobrir o que faz de uns sonolentos e de outros atentos em frente ao ecrã.
James Cutting afirma que a resposta não está nem no Brad Pitt nem na Halle Berry. Mas sim na ciência: É a Teoria do Caos!

“Ás vezes estou vendo um filme, que comecei no meio, e pergunto-me: ‘Por que estou a vendo isto?’ Mas tenho os olhos fixos no ecrã. Acontece porque estou a dar ao filme um certo ritmo e estou a achar isso agradável”, refere o investigador que utilizou as ferramentas da percepção moderna para desconstruir o ritmo dos passados 70 anos de cinema.

Cutting especula que, tal como o raio dourado dos pintores renascentistas, pode haver uma Matemática subjacente no cinema − se não uma fórmula estética pelo menos algo que determina o quanto as pessoas prestam atenção aos filmes.

A verdade é que James Cutting encontrou algo a que chamou o padrão 1/f.

O padrão 1/f é um conceito da Teoria do Caos, um ritmo que aparece em toda a natureza − na música, na economia e em outros lugares.

A proporção é uma constante no Universo e que descreve muito bem os nossos padrões de atenção. Para aplicá-lo ao cinema, o investigador comparou o comprimento dos cortes durante o filme, ou seja, o ritmo.

Edição funde-se com atenção

Ao trabalhar com os alunos Jordan DeLong e Christine Nothlefer, descobriu que os filmes modernos (realizados depois de 1980) eram muito mais próximos do padrão 1/f do que os filmes anteriores, e por isso mais capazes de agarrar a nossa atenção. Ou seja, as sequências de imagem seleccionadas pelo realizador e editor de imagem fundiram-se gradualmente ao longo dos anos com o padrão natural da atenção humana.

“O padrão de sequências no cinema é cada vez mais próximo do que o que nós geramos endogenamente nas nossas cabeças”, explicou o investigador.

A um ritmo perfeito

Num estudo publicado na Psychological Science, Cutting, DeLong e Nothlefer descobriram filmes de diferentes géneros quase perfeitos no ritmo 1/f. “A tempestade perfeita”, realizada em 2000 é um deles, tal como “Fúria de Viver” de 1955 e “39 Passos” de Alfred Hitchcock realizado no longínquo ano de 1935.

"39 Passos" de Hitchcock é um dos filmes mais próximos do padrão 1/f

O investigador adverte que a modernidade dos filmes nada tem a ver com o gosto.

Com os resultados, poderia assumir-se que os espectadores gostassem mais dos filmes com sequências próximas do 1/f, mas não é esse o caso. Há exactamente zero de conexão entre o padrão 1/f e o top do popular site IMDb.

Além de tudo, o estudo nada tem a ver com o gosto, afirma Cutting, que pessoalmente prefere os “film noir” dos anos 50. “Ao fazer este projecto, apaixonei-me novamente pelo “film noir”. E o que é interessante sobre eles é que as suas sequências são completamente aleatórias de duração. Estão o mais longe possível do padrão 1/f”, explica o psicólogo.

Cinema mais rápido

Não é segredo que a duração média de um plano em cinema diminuiu de 1960 até à actualidade − de entre oito a dez segundos nos anos 60 para três a quatro segundos em 2005. O “007 – Quantum of Solace”, de 2008, tem 1,7 segundos de média, o que indica a rapidez do ritmo dos filmes contemporâneos.

007_Quantum of Solace

Os filmes modernos estão mais próximos do padrão 1/f, mas não é pela rapidez.

“Cada filme tem uma duração média de planos”, explicou Cutting. “Mas o padrão de variação da duração de cada um é independente da média”. Isto significa que a variabilidade − como é medido o 1/f − pode ser a mesma em todos os filmes, independentemente da duração dos planos.

”Os editores de cinema e realizadores têm aumentado gradualmente o controlo sobre a dinâmica visual das suas narrativas, fazendo com que as relações entre os planos sejam mais coerentes do que há 70 anos atrás”, escreveu no artigo e acrescenta: “Nós sugerimos que, nos próximos 50 anos ou mais, com os filmes de acção a liderar o caminho, o cinema de Hollywood irá evoluir para uma estrutura mais geral que corresponda aos padrões 1/f encontrados em outras partes da física, biologia, cultura e do pensamento.”

Fonte: Ciência Hoje

Portugal

A arte de resolver problemas

Diariamente na aula de Matemática e em situações do teu quotidiano deparas-te com a necessidade de encontrar respostas para problemas.

George Pólya (matemático húngaro, 1887 – 1985), diz que “Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O Problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus meios, experimenta o sentimento da autoconfiança e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no carácter“.

Este matemático propôs um modelo para resolução de problemas, no qual sugere que se percorram as quatro fases seguintes:

1. Compreensão do problema.

2. Estabelecimento de um plano.

3. Execução do plano.

4. Reflexão sobre o que foi feito.

Fases	Questões que deves colocar?
1. Compreensão do problema	Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condição? É possível satisfazer a condição? A condição é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou excessiva? Ou contraditória? Desenha uma figura. Adopta uma notação adequada. Separa as diversas partes da condição. É possível defini-las de outro modo? Comentá-las ?
2. Estabelecimento de um plano	Já viste este problema antes? Ou já viste o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conheces um problema relacionado? Ou um que seja útil aqui? Conheces um teorema que lhe poderia ser útil? Ou uma propriedade? Olha bem para a incógnita! Pensa num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante. Eis um problema correlacionado e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização? É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volta às definições. Se não puderes resolver o problema proposto, procura primeiro resolver algum problema correlacionado. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Ou um que seja mais genérico? Ou um que seja mais específico? Ou um que lhe seja análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantém apenas uma parte da condição, deixa a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? Serviste-te de todos os dados? Utilizaste toda a condição? Tiveste em conta todas as noções essenciais que estão no problema?
3. Execução do plano	Ao executares o teu plano de resolução, verifica cada passo. É possível verificar claramente que cada passo está correcto? É possível demonstrar que ele está correcto?
4. Reflexão sobre a solução obtida	É possível verificar o resultado? É possível verificar o raciocínio? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, para outros problemas? O resultado obtido tem sentido no contexto do problema?

Adaptado de “A arte de resolver problemas“, de George Polya,
ed. Interscience, 1995

Números são interessantes

Observem as seguintes sequências:

CURIOSIDADE PIRAMIDAL 1

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

123456789 x 9 + 10 =  1111111111

Aqui aparecem como resultados tantos números 1 como o valor que se lhe soma ao produto de nove pelo correlativo dos dígitos.

CURIOSIDADE PIRAMIDAL 2

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0 = 888888888

Aqui se obtém só resultados composto com números 8

CURIOSIDADE PIRAMIDAL 3

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 =9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

A terceira curiosidade apresenta a multiplicação da escala ascendente dos dígitos dando como resultado a mesma escala,porém de modo descendente.

CURIOSIDADE PIRAMIDAL 4

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Aqui os fatores são exclusivamente números 1,e os resultados nos mostram a escala ascendente e descendente dos dígitos.

3 x 3 = 9
3 x 3 x 3 = 27 = 2 + 7 = 9
3 x 3 x 3 x 3 = 81 = 8 + 1 = 9
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 = 2 + 4 + 3 = 9
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729 = 7 + 2 + 9 = 18 = 9
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2 187 = 2 + 1 + 8 + 7 = 18 = 9
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 6 561 = 6 + 5 + 6 + 1 = 18 = 1 + 8 = 9
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 19 683 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27 = 2 + 7 = 9

Origem dos Números Arábicos

Os algarismos arábicos ou árabes, foram trazidos da Índia para o Ocidente há muitos séculos atrás e são aqueles que ainda usamos nos nossos dias.

Os números que escrevemos são formados pelos algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Alguma vez pensaste porque 1 é “um”, 2 é “dois”, 3 é “três”, …???

Existem diversas explicações para a origem destes números, algumas delas bastante interessante que apontam em argumentos bem construídos mas que, no entanto, não são reais.

Um exemplo disso é o que se apresenta a seguir, que assenta a origem dos números arábicos no número de ângulos existentes no desenho de cada algarismo.

Apesar de não ser a verdadeira história da origem destes números não deixa de ser bastante interessante e curiosa.

Veja:

Os números 1,2,3 e 4

Os números 5, 6, 7 e 8

O número 9

Interessante o número zero...

Como dizer ao meu pai que tive 8 na Matemática?

O teste de Estatística não correu muito bem, tive 8.

Como dar a notícia ao meu pai?

Bom também o resto das notas da turma não foram famosas. Somos 10 e os resultados foram catastróficos!

Reparem só. O geniozinho teve 19, é claro, mas não sendo ele houve um 10, quatro 9 e três 2(9,9,9,9,2,2). Bom a moda é 9 e a mediana é também 9, mas se calcular a média (8+19+10+4*9+3*2)/10=7,9. Direi então ao meu pai que mesmo assim estou acima da média.

Mais um 8. Mas desta vez as notas são: 2,3,4,5,7,8 (eu), 9,9,18 e 19 (o génio). Já calculei a média, mas desta vez é 8,4; estou abaixo da média; e a moda é 9. Felizmente só 4 colegas tiveram melhor nota que eu, e 5 tiveram nota pior que a minha. Direi então ao meu pai que estou acima da mediana.

Não tenho mesmo sorte nenhuma. Estou sempre no 8. Deve ser culpa do prof! Desta vez as questões eram tão difíceis que houve três 7! Os outros tiveram 19 (sempre o mesmo), 18, 12,11,10 e 2 (também sempre o mesmo). Já calculei a média mas é 10,1. Não tenho sorte, tenho menos. Desta vez há 5 colegas com nota melhor que a minha! Já não posso contar com a mediana!. Felizmente houve os três colegas do 7 e por isso a moda é 7.

Desta vez direi ao meu pai que estou acima da moda, e espero que ele não saiba as diferenças entre média, mediana e moda.

Sudoku ou Quadrado Mágico

Determinados assuntos,como jogos,quadrados mágicos,etc.,deveriam ser mais explorados nas escolas.Na antiga União Soviética o xadrez era dsciplina obrigatória,o xadrez leva os alunos a fazerem uso da lógica e do raciocínio.A matemática muitas vezes se confunde com a lógica,e como dizia Karl poppev:"As fronteiras entre a matemática e a lógica,nunca foram demarcadas.Não sabemos onde termina a matemática e começa a lógica,e reciprocamente."
Os quadrados mágicos costumam despertar a curiosodade até mesmo daqueles que não são adeptos da matemática.
Esses quadrados mágicos são utilizados em experiências que dependem de estatísticas.por volta do século XVIII,o suíço Leonhard Euler desenvolveu essa teoria,aproximando seu estudo do cálculo das matrizes e determinantes-o que quer dizer que existem quadrados muito mais complexos do que aqueles apenas recreativos.
A origem desses quadrados intrigantes e divertidos,parece situar-se na China,estudiosos dizem que provavelmente surgiram a cerca de 3000 anos(na China),e também há indícios de que existiam também na Índia.Eles foram se propagando,principalmente a locais ligados ao misticismo(Japão,Índia,Oriente Médio).
O surgimento dos quadrados mágicos na Europa se devem ao escritor Manuel Moschopoulos,durante o século XV.
Os quadrados mágicos eram relacionados com a Alquimia e a Astrologia,e um quadrado mágico gravado numa placa de prata era usado como amuleto contra a peste.
No século XIX,foram aplicados em problemas de probabilidade e análise. Conclui-se,portanto,que a idéia dos quadrados mágicos,que possui raízes profundas no misticismo e foi considerada frequentemente como mero passatempo,acabou se tornando uma parte importante da matemática comtemporânea.

Um quadrado mágico é uma tabela de números dispostos na forma de um quadrado,de tal modo que a soma dos elementos de uma linha,coluna ou diagonal seja uma constante.Esses números devem ser inteiros e consecutivos,começados por 1 .Quando o quadrado não respeita a definição dada anteriormente,recebe o nome de quadrado imperfeito,defeituoso ou não puro. O quadrado,dessa forma,é denominado "quase mágico".

Começamos na casa 1 (exemplo),a colocação dos números seguintes são sempre para a direita,em diagonal.Duas acima,e outra a direita,coloca-se o número 2.

S = n ( n 2 + 1 ) / n

Bibliografia:
"Quadrados Mágicos" de Daniel Caetano de Figueiredo
"Enciclopédia Conhecer Universal"-1982

Teoria dos Jogos

Você sabia que a matemática também serve para brincar?
A Teoria dos Jogos oferece muitas possibilidades,uma delas são os jogos matriciais.
Nessa teoria uma matriz A= (aij) mxn pode definir um jogo.Veja as regras:

a)Existem dois jogadores,um chamado L (de Linha) e outro C (de Coluna).

b)Temos um lance, quando L escolhe uma linha de A e,ao mesmo tempo,C escolhe uma coluna.

c)Depois de cada lance,se o elemento da linha e da coluna escolhidas é positivo, L recebe de C este valor,e se é negativo,  C recebe de L este valor.Se o elemento é nulo,ninguém recebe nada de ninguém.

Consideremos,como exemplo,a matriz A= (aij) 3x4 abaixo:

-2   6  -4  -1
 3   4   2  -3
-3 -1   5   2

Se L joga sempre a 1ª linha,esperando ganhar 6,C pode jogar sempre a 3ª coluna e ganhar 4.

Porém,se C joga sempe a 3ª coluna,L pode jogar a 3ª linha e ganhar 5.
Percebemos,então,que se um jogador escolhe sempre uma linha ou coluna,o outro pode ter vantagem com isso.

O jogo matricial também é chamado de jogo de duas pessoas com soma nula por que a soma dos ganhos e das perdas dos dois jogadores,depois de cada lance,é nula.
Quando todos os elementos de uma linha são iguais ou menores que os de outra,dizemos que ela é uma linha recessiva.
Evidentemente,o jogador L sempre preferirá uma linha não recessiva para jogar,portanto a linha recessiva pode ser omitida no jogo.
Quando todos os elementos de uma coluna são iguais ou maiores que os de outra,dizemos que ela é uma coluna recessiva e,por isso,também pode ser omitida do jogo.
Agora que você já aprendeu algo sobre jogos matriciais,construa uma matriz A=  (aij) 4x3 que não possua linhas e colunas recessivas e convide um colega para jogar.

(extraído do livro "Matemática Volume Único" de Walter Facchini)